考研数学二证明题

一、数列极限的证明

数列极限的证明是考研数学二的重点。在大题中涉及较多，数二最近几年考查非常频繁。

一般在大题中涉及到数列极限的证明，常用方法是单调有界准则。需要证明数列单调递增或递减，并且有上界或下界，从而得出数列极限存在。

二、微分中值定理的相关证明

微分中值定理的证明题是考研的重难点，综合性强且涉及知识面广。

涉及的中值等式主要有三类定理，包括零点定理和介质定理；罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理考查频率低，以前两个定理为主；积分中值定理，作用是去掉积分符号。考查时一般会把三类定理两两结合。

三、方程根的问题

方程根的问题也是考研数学二证明题常考内容，包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。

证明方程根唯一，常利用函数的单调性，结合零点定理等；讨论方程根的个数，则需通过分析函数的单调性、极值、最值以及函数在区间端点的取值情况等，确定函数图象与x轴的交点个数。

四、不等式的证明

不等式的证明在考研数学二证明题中也较为常见。

常用方法有利用函数的单调性，构造辅助函数，通过求导判断函数的单调性，进而证明不等式；还可利用拉格朗日中值定理、泰勒公式等进行证明，有时也会结合函数的凹凸性等性质来证明不等式。

五、定积分等式和不等式的证明

定积分等式和不等式的证明也是考点之一。

主要涉及的方法有微分学的常数变异法；积分学的换元法和分布积分法。证明定积分等式时，常根据等式两边的特点，通过适当的变量代换、积分区间变换等方法进行证明；证明定积分不等式时，则需利用函数的单调性、估值定理等。

六、积分与路径无关的等价条件（拓展）

积分与路径无关的五个等价条件是数学一的考试重点，但数二也需关注。

这五个等价条件包括：曲线积分与路径无关；存在某函数的全微分；某向量场为保守场等。若涉及到此类证明，需熟练掌握这些等价条件之间的相互推导和应用。